Всего: 90 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Докажем, что 
не зависит от x и y. 
Так как 
получаем:
Что и требовалось доказать.
и 
Критерий описанности четырехугольника 
это равенство равносильно 
В треугольнике АВС взята точка Р такая, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ. Докажите, что расстояние от вершины А до точки Р не меньше расстояния от А до точки I — центра вписанной в АВС окружности, и если эти расстояния равны, то Р совпадает с I.
Докажите, что сумма длин дуг 
больше суммы длин дуг 
В задаче по сути требуется доказать, что сумма длин дуг 
меньше длины половины окружности, то есть их суммарная угловая мера меньше 180°, что эквивалентно тому, что угол AOD острый. Для обоснования последнего построим (как на диаметрах) окружности на боковых сторонах трапеции (рис.). Углы AOD и BOC, под которыми из точки O видны боковые стороны, равны между собой. Значит, возможен один из трех случаев: 1) точка O находится внутри каждой из окружностей, если углы AOD и BOC тупые, 2) точка O лежит на каждой из окружностей, если углы прямые, 3) точка O лежит вне окружностей, если углы острые. Но, поскольку наша трапеция описанная, сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований, а значит сумма радиусов этих окружностей равна полусумме оснований, то есть средней линии. Потому окружности имеют единственную общую точку, лежащую как раз на средней линии и потому отличную от O (так как длины оснований трапеции различны). Таким образом, реализуется третий случай: углы AOD и BOC острые, и, следовательно, сумма длин дуг В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найти сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвертой окружностью, равна 
и 
предыдущей и следующей окружности выполнено соотношение (см. рис.) 
образуют геометрическую прогрессию, причем 
(рис. 2). Тогда 
Опустим 
Учитывая, что AN параллельна KM, получаем 
В прямоугольном треугольнике ADN гипотенуза равна 
катет 
следовательно, 
Значит, 
а учитывая условие задачи, приходим к выводу, что 
а прямая SC параллельна AN. Следовательно, 
трапеции прямой, а длина 
(рис. 3). Как и раньше, длина перпендикуляра 
Острый угол 
является внешним для трапеции и треугольника 
поэтому 
находим 
то 
В трапецию вписана окружность, причем сторона AB делится точкой касания на отрезки длины 
и 
Определите длину боковой стороны CD трапеции.
следовательно, треугольник 
прямоугольный с прямым углом KEF. Но 
Значит, 
прямой, но 
следовательно, 
тоже. Рассмотрим окружность с центром в точке C и радиусом 
Она вторично пересекает прямую BC точке 
и 
Но, поскольку 
также прямой, L и 
что и требовалось.
Треугольники DBI и AEI подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке I равны как вертикальные, потому что точки A, I и D лежат на одной прямой — биссектрисе угла A). Аналогично подобны треугольники DCI и AFI. 
Из этого равенства следует требуемое равенство площадей треугольников BIF и CIE поскольку углы при вершине I в треугольниках BIF и CIE равны как вертикальные.
Треугольники DBI и AEI подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке I равны как вертикальные, потому что точки A, I и D лежат на одной прямой — биссектрисе угла A). Аналогично подобны треугольники DCI и AFI.
а это накрест лежащие углы при прямых 
и 
поэтому прямые параллельны.В прямоугольный треугольник ABC 
вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
Тогда 
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
проведённая из B, равна 
и 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом 
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
Окружность с центром O, вписанная в треугольник PQR, касается его сторон PQ, QB и RP в точках C, A и B соответственно. Прямые BO и CO пересекают стороны PQ и PR в точках K и L соответственно. Найдите отношение 
если 
как касательные, проведённые к окружности из одной точки; 
—
а так как 
то и 
Пусть 
Тогда 
получаем, что 
—Окружность с центром O, вписанная в треугольник PQR, касается его сторон PQ, QB и RP в точках C, A и B соответственно. Прямые BO и CO пересекают стороны PQ и PR в точках K и L соответственно. Найдите отношение если 
получаем, что 
